SEGUNDA ETAPA
CUARTO PROCESO.
Despues de aplicar las propiedades de los primos origen, creando un algoritmo de tamiz que busca hasta los n primos, realizando operaciones básicas y considerando las posiciones de los múltiplos a depurar y no asi su valor, se realizo algunas implementaciones al algoritmo para buscar primos desde un limite y en un rango indicado, siendo efectivo, donde la única limitación era la capacidad del ordenador.
Buscando publicaciones relacionados a los números primos y en especial sobre los primos origen, solo encontré un trabajo donde llegaron casi a identificar los primos de origen; pero no avanzaron mas al no comprender su organización, ni si esto tendría alguna utilidad practica. Puedo afirmar que toda persona que paso la escuela, vio a los primos origen; pero al instruirnos que son elementos únicos e indivisibles, bloquean nuestra percepción para comprender su organización en grupos que se originan desde los primos de origen.
Encontre una pagina de un amigo español Ignacio Renesis, quien presentaba una cronología de los algoritmos desarrollados por grandes matemáticos, donde le comente sobre los datos descubiertos y las aplicaciones desarrolladas.
Ignacio fue un gran maestro que me ayudo a comprender conceptos nuevos como la complejidad asintótica de un algoritmo, por el cual se determina su validez e importancia. Asi mismo me dio referencia de varias publicaciones sobre los desarrollos alcanzados por renombrados matemáticos, como sus teorías, conjeturas e hipótesis, que hasta nuestros días son analizadas y aplicadas.
Teniendo una percepción mas clara sobre lo que se cuestionaba y se buscaba de los números primos, la intuición del subconsciente me indicaba que había mas por descubrir, por lo que comencé a realizar otra serie de análisis, para comprender mas sobre las interrelaciones que suponía se daban entre grupos origen.
PRIMOS RELACIONADOS.
Dado que todos los números base originados de un primo origen, donde todos conforman un grupo origen, mediante un calculo sencillo se identifica a que primo origen o grupo pertenecería este, donde la distribución de sus múltiplos se obtenia desde su primo origen.
En esto descubri que para cada grupo origen, existía una relación especifica entre primos origen, donde uno era “primo origen de base” y el otro era su “primo relacionado”. Inicialmente ambos comparten un “múltiplo común” desde el cual mediante el factor múltiplo (FM) del primo relacionado, se determinaba el primer múltiplo de los números base del primo origen de base. De la misma manera, el primo origen de base, permitia determinar los primeros múltiplos de los números base del primo relacionado.
Recapitulando se indico que la SMD distribuye los múltiplos de un numero base o primo, en cada grupo origen, siguiendo una secuencia y orden que se repite como el que se da en su primo origen. Ahora bien, en cada grupo origen habran múltiplos pertenecientes a números base de todos los grupos origen, donde con los primos relacionados, determinamos los múltiplos no primos a depurar, quedando al final en el grupo, los números base que serán números primos validos.
Al determinan el primer múltiplo de un numero base en un grupo origen, la determinación y depuración de sus demás múltiplos se lo realiza mediante su FM el cual es proporcional a su valor si se determinan sus múltiplos según la posición que ocupan dentro del grupo origen.
GENERACION de NUMEROS PRIMOS.
Aplicando la relación directa y especifica entre primos origen, dada para un grupo origen y las propiedades de un primo origen para generar números base y determinar los múltiplos que tendrá, lo cual permite depurarlos y obtener números primos validos, se desarrollo un algoritmo, inicialmente para generar primos de un grupo origen y luego para generar números primos, según el orden y secuencia natural como los conocemos o lo conocen todos.
Aclaro esta expresión manifestada, ya que ver y analizar a los números primos en su orden natural, dio lugar a no comprender su organización y distribución, considerándolos misteriosos o que se presentan al azar, lo cual es falso.
Sub GeneraPrimos()
' CTC = ............... Limite para Depuracion
' VPO(n, n) ......... Array con datos de Primos Origen
' FMG=............... Factor Multiplo Global
' NUPO=.............. Número de Primos Origen existentes
'** DEPURA MARCANDO LOS MULTIPLOS NO PRIMOS
For x = 1 To nupo
pp = vpo(0, x) ' Primo Origen de Grupo Origen
For i = 1 To nupo
pr = vpo(i, x) ' Primo Origen Relacionado
po = vpo(0, i) ' Primo Origen de Grupo a Depurar
fm = ((pp * pr) - po) / fmg ' Posicion del Multiplo comun
Do
For j = fm To ctc Step pr ' Marca Multiplos No Primos
vp(j, i) = True: Next j
pr = pr + fmg ' Siguiente Primo
fm = fm + pp ' Multiplo del Primo
Loop Until (fm > ctc) ' Limite de Depuracion
Next i
Next x
'** EXPORTA NUMEROS PRIMOS
Open "RUTA ARCHIVO.txt" For Output As#1
For x = 0 To ctc
For i = 1 To nupo
Select Case vp(x, i)
Case False: Print#1, Str((x*fmg)+vpo(0,i))
End Select
Next i
Next x
Close#1
End Sub
El código en Visual Basic que se presenta, exporta en un archivo secuencial los números primos que existen hasta un limite determinado en la variable ctc.
Este algoritmo se constituye en una de las primeras respuestas sobre una interrogante planteada hace mucho tiempo, donde se cuestiona si será posible generar números primos directamente, en el orden como se presentan dentro de los números naturales. El algoritmo genera primos luego de una depuración de números base que son múltiplos no primos, utilizando tan solo primos origen y sus relaciones, el cual puede ser ejecutado en el ordenador mas simple, ya que requiere una insignificante cantidad de memoria RAM y de espacio en disco duro.
QUINTO PROCESO.
Con la guía y sugerencias de Ignacio, me atrevi a sumergirme en el campo de la primalidad y de la factorización, para conocer la participación de los primos origen y encontrar datos relacionados sobre estos.
PRIMALIDAD con PRIMOS de ORIGEN.
La finalidad de un algoritmo de primalidad es determinar si un numero es compuesto o primo en un tiempo polinomial, donde el algoritmo probabilístico mas utilizado es el de Miller-Rabin, evaluando su función con números aleatorios y pseudoprimos que luego de varios cálculos determinaran si el numero es primo o no, en un tiempo apreciablemente corto; pero su eficacia llega a ser de 1/4, por lo que se debe ampliar la iteración para lograr una determinación altamente probable y no 100% segura.
De los algoritmos deterministas que indican 100% si un numero es primo o no, están el método clásico, que evalua si el numero es divisible por algún numero primo anterior a este, hasta su raíz cuadrada, donde la complejidad es alta y necesita de muchos recursos computacionales. Otros algoritmos como los de Eratostenes y el de Atkin, se ven limitados por la capacidad computacional como el anterior.
Con los limitados conocimientos matemáticos, tan solo llegué a desarrollar algoritmos, uno parecido al método clásico, con la diferencia de no requerir archivos con primos validos, ya que desde los primos origen se generan los números base que se utilizaran como primos divisores para determinar la primalidad del numero.
Otra metodología fue determinar si el numero es múltiplo de algún primo divisor, identificando su grupo origen y de acuerdo a este utilizar los primos relacionados, que permiten determinar todos los múltiplos que existen en este grupo, donde si el numero en evaluación coincide con uno de estos seria compuesto, caso contrario se determinaría que es un numero primo.
Muy bien lo decía Ignacio, que el algoritmo era de tamiz y no asi de primalidad; pero lo valorable son las nuevas metodologías que se pueden desarrollar en base a los primos origen, para que los matemáticos con su amplio conocimiento, desarrollen funciones de primalidad, que determinen casi directamente si un numero es primo o no, sin que la cantidad de dígitos que tenga, aumente su complejidad.
FACTORES PRIMOS de NUMEROS BASE MULTIPLOS.
Respecto a la descomposición de un numero entero en sus factores primos, una propiedad que le da la importancia a los números primos, considerados como ladrillos fundamentales, sobre los cuales se construyen los demás números naturales compuestos.
Mediante un análisis realizado, encontré que los factores de todo numero base que es múltiplo, esta determinado por la SMD, que como recordaremos, esta secuencia determina los múltiplos que tendrá un primo dentro de todos los números base generados desde los primos origen.
De esta manera, generando los múltiplos de un primo con la SMD, los factores primos serán los números base generados secuencialmente y ordenadamente desde cada primo origen o grupo origen, donde cada primo origen y numero base, tendrá como su primer factor al primer primo origen, luego al segundo y asi hasta llegar al ultimo primo origen y luego los factores serán los números base originados siguiendo este mismo orden.
Esta organización de factores nunca antes descrita, da un nuevo enfoque para determinar los factores primos de un numero de una forma casi directa.
PRIMOS RELACIONADOS y FACTORES PRIMOS.
Analizando los factores definidos para los múltiplos de un primo y la relación especifica que existe entre primos origen para cada grupo origen, se encontró que prioritariamente algunos primos relacionados serán los factores para los múltiplos que existan en el grupo origen. Por otra parte, al determinar el primer factor del numero, uno de los otros factores será el primo relacionado o uno de sus números base generados, con carácter de prioridad, caso contrario el factor se dara por el siguiente grupo de primos relacionados, seleccionados según el orden de prioridad que se da en cada grupo origen.
En base a esta metodología se desarrollo un algoritmo rustico, mezclando los conocimientos sobre factores primos, para efectuar un test de primalidad.
'** Cargue en variables datos necesarios:
'→ NB......... numero a determinar primalidad
'→ VPR(10,3).. Array con Primos Relacionados (PR)
'→ NP......... N° de PR cargados en array
'→ UP......... Limite de determinacion (Sqr)
Do
For i = 1 To np
p1 = vpr(i, 1)
p2 = vpr(i, 2)
n1 = nb - (p1 * p2)
If n1 mod p1 = 0 Then →Informe NB COMPUESTO y su Factor es P1
If n1 mod p2 = 0 Then →Informe NB COMPUESTO y su Factor es P2
‘→ Cargue vpr(i, 1) y vpr(i, 2) siguientes primos originados
Next i
Loop Until (p1 > up) Or (p2 > up)
→Informe que NB es PRIMO y no tiene Factores
El pseudocodigo del algoritmo determina el primer factor de un numero mediante los primos relacionados definidos para cada grupo origen, que en este caso será el grupo al que pertenece el numero en evaluación. Una propiedad útil que se aplica, es que reduciendo el numero con el múltiplo común de los primos relacionados, el restante es proporcional a uno de los primos relacionados, si este numero fuera múltiplos de estos o de sus números base, lo cual, con una operación se esta evaluando la divisibilidad del numero para varios números base al mismo tiempo, reduciendo la complejidad del algoritmo en mas del 60%.
SEXTO PROCESO.
Los objetivos de estos últimos procesos, que están en desarrollo y análisis, es el de identificación de un factor para seleccionar los primos relacionados que serán factores de un numero, ya que como se explico anteriormente, los factores se presentan de manera ordenada y secuencialmente como son originados, según la SMD que controla este proceso, de modo que aplicando un factor de calculo, se seleccione directamente el grupo de primos relacionados que serán si o si factores del numero en evaluación.
Adelantando los primeros resultados observados en este proceso, se encontró que en dos grupos origen la densidad de números primos es mayor respecto a los demás, donde la probabilidad de encontrar primos será mayor, especialmente si se buscan primos grandes de muchos dígitos.
Las limitaciones del algoritmo a desarrollar aplicando los nuevos datos a encontrar, serán sobre la capacidad computacional del ordenador de 32 bits que se dispone y el manejo de algunas funciones y cálculos según los conocimientos básicos en matemáticas que dispongo, donde el propósito principal es demostrar las aplicaciones que se pueden desarrollar en base a las propiedades de los primos de origen, sus factores, relaciones y secuencias, que manifiestan fehacientemente una organización precisa y milimétricamente planificada, hasta hoy nunca antes conocida ni explorada por nuestros matemáticos.
Autor: Victor Luis Arteaga
correo: viluarte22@hotmail.com