PRIMERA ETAPA
INTRODUCCION.
Los números primos fueron estudiados por los matemáticos de la antigua Grecia (500 - 300 a.c.) que estaban interesados en estos números por su misticismo y sus propiedades numerológicas. Muchos matemáticos desde esa época hasta nuestros días, han dedicado mucho tiempo de su vida intentando desarrollar un algoritmo que genere números primos o una función que determine la primalidad de un numero, sin lograr obtener resultados claros y precisos, que den respuesta a las interrogantes planteadas sobre la organización y distribución de los números primos. Con los resultados de la presente investigación personal, daremos respuesta a estas interrogantes y presentaremos el enfoque para comprender la organización del mundo de los números primos, lo cual no fue considerado por los matemáticos que estudiaron a estos números durante muchos siglos.
ANTECEDENTES HISTORICOS.
Desde los matemáticos de la Escuela Pitagórica hasta la época Euclidiana (300 a.c.) se estudiaron a los números primos, describiendo sus propiedades factoriales sobre los números compuestos, donde Euclides demuestra el Teorema Fundamental de Aritmética que indica que “Todo entero puede ser escrito como un producto único de números primos”. Euclides también demostró que si el número 2n - 1 es primo, entonces el número 2n-1(2n - 1) es un número perfecto y demás que los números primos son infinitos; pero no pudo encontrar ningún patrón que permitiera entender donde encontrarlos. Cerca del 200 a.c. el matemático, astrónomo y geógrafogriego
Los números primos fueron estudiados por los matemáticos de la antigua Grecia (500 - 300 a.c.) que estaban interesados en estos números por su misticismo y sus propiedades numerológicas. Muchos matemáticos desde esa época hasta nuestros días, han dedicado mucho tiempo de su vida intentando desarrollar un algoritmo que genere números primos o una función que determine la primalidad de un numero, sin lograr obtener resultados claros y precisos, que den respuesta a las interrogantes planteadas sobre la organización y distribución de los números primos. Con los resultados de la presente investigación personal, daremos respuesta a estas interrogantes y presentaremos el enfoque para comprender la organización del mundo de los números primos, lo cual no fue considerado por los matemáticos que estudiaron a estos números durante muchos siglos.
ANTECEDENTES HISTORICOS.
Desde los matemáticos de la Escuela Pitagórica hasta la época Euclidiana (300 a.c.) se estudiaron a los números primos, describiendo sus propiedades factoriales sobre los números compuestos, donde Euclides demuestra el Teorema Fundamental de Aritmética que indica que “Todo entero puede ser escrito como un producto único de números primos”. Euclides también demostró que si el número 2n - 1 es primo, entonces el número 2n-1(2n - 1) es un número perfecto y demás que los números primos son infinitos; pero no pudo encontrar ningún patrón que permitiera entender donde encontrarlos. Cerca del 200 a.c. el matemático, astrónomo y geógrafogriego
Eratóstenes ideó un sencillo algoritmo para obtener los sucesivos números primos denominado la “criba de Eratóstenes”, que consiste en eliminar los múltiplos de los primeros números primos (como son el 2, 3, 5, 7, 11, 13, 23, etc.) mayores o iguales que el número primo elevado al cuadrado. El próximo gran descubrimiento fue realizado por Fermat en los inicios del siglo XVII. El demostró que la teoría de Albert Girard de que cada número primo de la forma 4 n + 1 puede ser escrito de una manera única como la suma de 2 cuadrados y demostró como cualquier número puede ser escrito como la suma de cuatro cuadrados. Ideó un nuevo método de factorización lo que se conoce como El pequeño teorema de Fermat, el que establece que si p es un número primo entonces para cualquier entero a obtenemos que ap = a modulo p. El Pequeño Teorema de Fermat es la base de otros muchos resultados en la Teoría de Números y es la base de métodos de verificación de números primos que se utilizan aún hoy en ordenadores electrónicos. Legendre y Gauss realizaron exhaustivos cálculos sobre la densidad de los números primos, llegando a la conclusión de que para un largo de n la densidad de los primos cercanos a n es de aproximadamente 1/log(n), a este enunciado se le conoce como el Teorema de Números Primos. Los intentos por probarlo continuaron durante el Siglo XIX, con los notables progresos realizados por Chebyshev y Riemann quien pudo relacionar este problema con algo llamado la Hipótesis de Riemann: un resultado aún sin probar acerca de los ceros en el plano complejo de algo llamado la función-zeta de Riemann.
En la actualidad el estudio de los números primos continua por su importancia en la criptografía, método utilizado para el envió y recepción de mensajes cifrados, utilizando dos números primos cuyo producto constituye un numero de cientos de dígitos difíciles de factorizar.
Los números primos se suceden sin orden alguno, unos están cerca de otros, otros mantienen las distancias al parecer sin un patrón que los defina, parecen no tener sentido y si hay algo que atormente a un matemático son los patrones y el sentido. Quien les presenta esta investigación particular no es matemático formado, tan solo un apasionado por cultivar su conocimiento que se empecina hasta lograr dar respuesta a las intrigas que se presentan en su mente y en la vida. Como a todos, desde la escuela nos enseñan que un numero primo es aquel que es divisible entre si mismo y entre 1; donde realizando un algoritmo para buscar todos los números primos con este criterio, el proceso se hace lento y complicado, ya que revisar la divisibilidad de cada numero en crecimiento requiere realizar mas y mas operaciones y contar con una base de archivos con primos verificados, cuya cantidad desborda la capacidad de los ultimos ordenadores. El primer razonamiento fue de contar con una reducida base de números a determinar si son o no primos, ya que existen demasiados múltiplos de 2 y 3, los que directamente se los debe excluir al no tener ninguna posibilidad de ser primos. Presentándose un reto en el foro de TodoExcel, donde el tiempo de un forista para determinar los primos existentes hasta 1 millón era de 51 segundos. Realizando un análisis vi que generando números base con la secuencia progresiva (+2)(+4) se obtenían una condensación de mas del 50%, lo cual disminuyo significativamente la cantidad de cálculos, llegando a determinar los primos existentes hasta 1 millón en menos de 16 segundos y luego de hacer mejoras, el tiempo se redujo a los 4 segundos, lo cual era satisfactorio.
SECUENCIA PROGRESIVA (+2) (+4) El proceso de esta secuencia se realiza sumando (+2) al primer numero de un grupo de 2 numeros base, con lo que se obtiene el segundo numero del grupo. Luego se suma (+4) al segundo del grupo obtenido y se obtiene el primero del siguiente grupo, donde de procederá nuevamente con la adicion de (+2) y asi sucesivamente. Otra modalidad es sumar (+6) al primero de un grupo para obtener el primero del siguiente grupo, donde luego a cada primero de grupo se adiciona (+2) para completar el par de numero base de cada grupo. Este método de generar números base, constituyo una forma simplificada de la criba de Eratóstenes, desarrollado por propia lógica, sin antes saber que existía. La deficiencia que presenta, es la gran cantidad de múltiplos de 5, lo que condujo a realizar otros análisis, en busca de una forma de generar números base mas condensados, donde luego de analizar varias tablas en Excel, solo se encontraron algunos valores que se repetían, sin lograr comprender su función ni origen.
SECUENCIA PROGRESIVA (+2) (+4) El proceso de esta secuencia se realiza sumando (+2) al primer numero de un grupo de 2 numeros base, con lo que se obtiene el segundo numero del grupo. Luego se suma (+4) al segundo del grupo obtenido y se obtiene el primero del siguiente grupo, donde de procederá nuevamente con la adicion de (+2) y asi sucesivamente. Otra modalidad es sumar (+6) al primero de un grupo para obtener el primero del siguiente grupo, donde luego a cada primero de grupo se adiciona (+2) para completar el par de numero base de cada grupo. Este método de generar números base, constituyo una forma simplificada de la criba de Eratóstenes, desarrollado por propia lógica, sin antes saber que existía. La deficiencia que presenta, es la gran cantidad de múltiplos de 5, lo que condujo a realizar otros análisis, en busca de una forma de generar números base mas condensados, donde luego de analizar varias tablas en Excel, solo se encontraron algunos valores que se repetían, sin lograr comprender su función ni origen.
SEGUNDO PROCESO.
Empecinado por encontrar la respuesta a la intriga intuitiva que indicaba la existencia de una generación mas condensada de números base, llevo a revisar los análisis antes realizados, donde casualmente, en un ultimo intento, luego de días de trabajo infructivo, la claridad vino despejando la miopía científica, observando un grupo de números de los cuales procederían todos los demás números primos. Comprobé su veracidad con tablas de números primos que tenia y efectivamente, todos procedían de estos números a los que denomine como “Primos Origen”.
PRIMO ORIGEN. Son unos cuantos números especiales, de los que se originan todos los numeros primos.
Inicialmente, cada primo origen genera "Numeros Base" que tienen todas las posibilidades de ser numero primo; pero muchos no llegan a serlo, al ser multiplo de uno de los numeros base anteriores a este.
Los números base y el primo origen que los originó, conforman lo que denomino como “Grupo Origen” ya que todos los numeros base, presentan características heredadas de su primo origen, que los diferencia de los numeros base generados en los otros grupos origen. Esta organizacion nunca antes estudiada o considerada, presenta numeros base a ser primos, condensados aproximadamente a un 25%, donde el restante 75% de los numeros naturales son con total y absoluta seguridad números compuestos.
Empecinado por encontrar la respuesta a la intriga intuitiva que indicaba la existencia de una generación mas condensada de números base, llevo a revisar los análisis antes realizados, donde casualmente, en un ultimo intento, luego de días de trabajo infructivo, la claridad vino despejando la miopía científica, observando un grupo de números de los cuales procederían todos los demás números primos. Comprobé su veracidad con tablas de números primos que tenia y efectivamente, todos procedían de estos números a los que denomine como “Primos Origen”.
PRIMO ORIGEN. Son unos cuantos números especiales, de los que se originan todos los numeros primos.
Inicialmente, cada primo origen genera "Numeros Base" que tienen todas las posibilidades de ser numero primo; pero muchos no llegan a serlo, al ser multiplo de uno de los numeros base anteriores a este.
Los números base y el primo origen que los originó, conforman lo que denomino como “Grupo Origen” ya que todos los numeros base, presentan características heredadas de su primo origen, que los diferencia de los numeros base generados en los otros grupos origen. Esta organizacion nunca antes estudiada o considerada, presenta numeros base a ser primos, condensados aproximadamente a un 25%, donde el restante 75% de los numeros naturales son con total y absoluta seguridad números compuestos.
TERCER PROCESO.
Comprender esta organizacion no fue fácil, ya que no existía información publicada que enfocara a los números primos como elementos agrupados y originados desde otros.
Luego de realizar varios análisis infructuosos, donde no se percibia un patron lógico que indicara por qué, ciertos números base son primos y otros no, encontré una secuencia que determina los multiplos que tendrá un primo dentro de todos los números base originados, a la cual denomine como “Secuencia de Múltiplos Directos” (SMD).
SECUENCIA de MULTIPLOS DIRECTOS. (SMD) Es una secuencia conformada por unos cuantos números, aplicable a todos los numeros primos, mediante el cual se identifican todos los numeros base que son multiplos de un primo.
Determinando los multiplos no primos con la SMD, permite depurarlos, quedando al final solo numeros primos validos.
Los elementos que conforman la SMD no presentan una proporcion aritmética, geométrica, ni exponencial, lo que explica el porque observamos a los números primos como si estuvieran distribuidos al azar. Inicie otros análisis para comprender esta secuencia de múltiplos, donde inicialmente vi que cada primo tenia DS totalmente diferente a los demás; pero basándome en la SMD, encontré una secuencia denominada “Secuencia de Datos Secuencia” (SDS) que aunque redundante, expresa lo que es significa, ya que con esta secuencia se determinan directamente los DS de los números base, desde el primo origen del cual se originaron. Otra caracteristica de la SMD es que distribuye los multiplos de un primo, en cada grupo origen, es decir un multiplo por grupo sin repetirse, hasta terminar la secuencia, donde al volver a aplicar la secuencia la distribucion de multiplos sigue el mismo orden, el cual es proporcionalmente identico a la distribucion de multiplos de su primo origen.
Comprendiendo que un numero base tiene una posicion especifica dentro de todos los generados por los primos origen, existe una secuencia para estos datos denominada como "Datos Secuencia" (DS) el cual logicamente tiene la misma cantidad de elementos que la SMD; pero estos valores son diferentes y propios para cada numero primo.
RELACION DIRECTA con los PRIMOS ORIGEN.
Comprendiendo que los numeros base primos se originan de uno de los primos de origen, realizando un simple calculo se identifica a que primo origen pertenece, indicandonos que serian una especie de multiplos, lo que contradice a la caracteristica principal de un numero primo.
Esta expresion se fundamenta, al haber encontrado la relacion directa que existe entre un primo origen y sus primos base originados. La relacion se da mediante la "Secuencia de Datos Secuencia" (SDS) aunque redundante, expresa lo que es, ya que como se dijo, los DS son unicos para cada primo; pero con la SDS se determina desde un primo origen, los DS de todos los numeros base primos originados de este, lo que demuestra claramente un relacion de pertenencia e identificacion grupal.
DATOS COMPLEMENTARIOS.
◘ La distribucion de los multiplos de un primo que realiza la SMD ubicandolos organizadamente en cada grupo origen, presenta otra caracteristica nunca descrita ni analizada y es que la cantidad de multiplos dentro del rango de numeros base de un primo, es la misma para todos.
Es decir, el rango de un numero primo pequeño tiene pocos numeros base, lo cual aumenta conforme aumenta el tamaño del numero primo, donde todos tendran la misma cantidad de multiplos distribuidos por la SMD.
Esto nos hace suponer que deberia mantenerse la cantidad de numeros primos que existe y no tender a disminuir como sucede en la realidad. La respuesta esta en los elementos que conforman la SMD, que al no tener una proporcion logica, los multiplos no primos se conglomeran en algunos puntos, en los que habran pocos primos, mientras que en otros, al estar dispersados los multiplos, habran mas primos y tambien encontraremos mas primos gemelos.
Interrogantes como ¿por qué en un rango o limite hay mayor y en otros menor cantidad de numeros primos? es comprendida analizando los elementos de la SMD.
Otra interrogante de si ¿es posible determinar cuantos primos habrá en los siguientes rangos? es posible calcularlo determinando la densidad de multiplos que se generan mediante la SMD; pero tomando un rango proporcional al "Factor Multiplo Global" (FMG) que no se relaciona en nada a los rangos utilizados que son potencias de base 10, lo cual es otro motivo que confunde al investigador y le conduce a suponer que realmente estos se distribuyen aleatoriamente.
◘ Aplicando esta nueva información, se desarrolló un algoritmo de tamiz para la busqueda de n primos, utilizando la SDS para determinar los DS desde los primos origen y de esta manera depurar los múltiplos no primos y generar numeros primos validos.
La ventaja de este metodo esta en la depuracion de multiplos en base a su posicion determinada por la SDS y no asi por el valor del multiplo, realizandose el proceso casi a ciegas, por asi decirlo, pero generando primos validos en un tiempo corto, gracias a la condensacion de los numeros base donde si o si estaran los numeros primos.
Al igual que los demás algoritmos de tamiz como de Eratóstenes y de Atkin, la capacidad computacional es el factor que determina su aplicabilidad para la busqueda de números primos de bastantes dígitos.
Comprender esta organizacion no fue fácil, ya que no existía información publicada que enfocara a los números primos como elementos agrupados y originados desde otros.
Luego de realizar varios análisis infructuosos, donde no se percibia un patron lógico que indicara por qué, ciertos números base son primos y otros no, encontré una secuencia que determina los multiplos que tendrá un primo dentro de todos los números base originados, a la cual denomine como “Secuencia de Múltiplos Directos” (SMD).
SECUENCIA de MULTIPLOS DIRECTOS. (SMD) Es una secuencia conformada por unos cuantos números, aplicable a todos los numeros primos, mediante el cual se identifican todos los numeros base que son multiplos de un primo.
Determinando los multiplos no primos con la SMD, permite depurarlos, quedando al final solo numeros primos validos.
Los elementos que conforman la SMD no presentan una proporcion aritmética, geométrica, ni exponencial, lo que explica el porque observamos a los números primos como si estuvieran distribuidos al azar. Inicie otros análisis para comprender esta secuencia de múltiplos, donde inicialmente vi que cada primo tenia DS totalmente diferente a los demás; pero basándome en la SMD, encontré una secuencia denominada “Secuencia de Datos Secuencia” (SDS) que aunque redundante, expresa lo que es significa, ya que con esta secuencia se determinan directamente los DS de los números base, desde el primo origen del cual se originaron. Otra caracteristica de la SMD es que distribuye los multiplos de un primo, en cada grupo origen, es decir un multiplo por grupo sin repetirse, hasta terminar la secuencia, donde al volver a aplicar la secuencia la distribucion de multiplos sigue el mismo orden, el cual es proporcionalmente identico a la distribucion de multiplos de su primo origen.
Comprendiendo que un numero base tiene una posicion especifica dentro de todos los generados por los primos origen, existe una secuencia para estos datos denominada como "Datos Secuencia" (DS) el cual logicamente tiene la misma cantidad de elementos que la SMD; pero estos valores son diferentes y propios para cada numero primo.
RELACION DIRECTA con los PRIMOS ORIGEN.
Comprendiendo que los numeros base primos se originan de uno de los primos de origen, realizando un simple calculo se identifica a que primo origen pertenece, indicandonos que serian una especie de multiplos, lo que contradice a la caracteristica principal de un numero primo.
Esta expresion se fundamenta, al haber encontrado la relacion directa que existe entre un primo origen y sus primos base originados. La relacion se da mediante la "Secuencia de Datos Secuencia" (SDS) aunque redundante, expresa lo que es, ya que como se dijo, los DS son unicos para cada primo; pero con la SDS se determina desde un primo origen, los DS de todos los numeros base primos originados de este, lo que demuestra claramente un relacion de pertenencia e identificacion grupal.
DATOS COMPLEMENTARIOS.
◘ La distribucion de los multiplos de un primo que realiza la SMD ubicandolos organizadamente en cada grupo origen, presenta otra caracteristica nunca descrita ni analizada y es que la cantidad de multiplos dentro del rango de numeros base de un primo, es la misma para todos.
Es decir, el rango de un numero primo pequeño tiene pocos numeros base, lo cual aumenta conforme aumenta el tamaño del numero primo, donde todos tendran la misma cantidad de multiplos distribuidos por la SMD.
Esto nos hace suponer que deberia mantenerse la cantidad de numeros primos que existe y no tender a disminuir como sucede en la realidad. La respuesta esta en los elementos que conforman la SMD, que al no tener una proporcion logica, los multiplos no primos se conglomeran en algunos puntos, en los que habran pocos primos, mientras que en otros, al estar dispersados los multiplos, habran mas primos y tambien encontraremos mas primos gemelos.
Interrogantes como ¿por qué en un rango o limite hay mayor y en otros menor cantidad de numeros primos? es comprendida analizando los elementos de la SMD.
Otra interrogante de si ¿es posible determinar cuantos primos habrá en los siguientes rangos? es posible calcularlo determinando la densidad de multiplos que se generan mediante la SMD; pero tomando un rango proporcional al "Factor Multiplo Global" (FMG) que no se relaciona en nada a los rangos utilizados que son potencias de base 10, lo cual es otro motivo que confunde al investigador y le conduce a suponer que realmente estos se distribuyen aleatoriamente.
◘ Aplicando esta nueva información, se desarrolló un algoritmo de tamiz para la busqueda de n primos, utilizando la SDS para determinar los DS desde los primos origen y de esta manera depurar los múltiplos no primos y generar numeros primos validos.
La ventaja de este metodo esta en la depuracion de multiplos en base a su posicion determinada por la SDS y no asi por el valor del multiplo, realizandose el proceso casi a ciegas, por asi decirlo, pero generando primos validos en un tiempo corto, gracias a la condensacion de los numeros base donde si o si estaran los numeros primos.
Al igual que los demás algoritmos de tamiz como de Eratóstenes y de Atkin, la capacidad computacional es el factor que determina su aplicabilidad para la busqueda de números primos de bastantes dígitos.